EJERCICIOS PAGINA 113

LIBRO: Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias
AUTOR: Walpole Myers Myers Ye

EJERCICIOS PAGINA 103

LIBRO: Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias
AUTOR: Walpole Myers Myers Ye

ESPERANZA MATEMÁTICA

 

Llamamos esperanza matemática (también conocida como esperanza, valor esperado, media poblacional o simplemente media) al número que expresa el valor medio de un fenómeno aleatorio. Denotamos la esperanza de una variable aleatoria X como: 

μ=E[X].

Si una tabla de mortalidad nos indica que en estados unidos una mujer de 50 años de edad puede esperar vivir 31 años mas, esto no implica que cualquier persona en realidad espere que una mujer de 50 años de edad pueda cumplir 81 años y morir al día siguiente. De modo similar, si leemos que en estados unidos una persona pueda esperar comer 52 kilogramos de carne de res y beber 160 litros de refresco por año o que un niño de un grupo de edad de 6 a 16 años puede esperar visitar al dentista 2.2 veces por año, debe ser evidente que la palabra "esperar" no se usa en un sentido coloquial. Un niño puede no ir al dentista 2.2 veces al año y de hecho, seria sorprendente encontrar a alguien que en realidad haya comido 52 kg. de carne y bebido 160 litros de refresco en cualquier año determinado. Por lo que respecta a las mujeres de 50 años de edad, algunas vivirán otros 12 años, algunos vivirán 20 años mas , algunas vivirán otros 33 años y la expectativa de vida de 31 años mas, deberán interpretarse como un promedio o como lo llamaremos "esperanza matemática"

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS, DISCRETAS Y CONTINUAS

variable aleatoria: Es una variable estadística, cuyos valores se obtienen de menciones en algún tipo de experimento aleatorio. finalmente, una variable aleatoria es una función que asigna eventos. por ejemplo, lanzar un dado o una moneda.

 

variable discreta: El conjunto de posibles valores es numerable. suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el numero de veces que sucede algo, aquella que solo puede tomar un numero infinito de valores dentro de un intervalo. Describe la probabilidad de ocurrencia de cada valor de una variable aleatoria disuelta. Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria que tiene valores contables, tales como una lista de enteros no negativos. Con una distribución de probabilidad discreta, puede estar asociada con una probabilidad distinta de cero. por lo tanto, una distribución de probabilidad discreta suele representarse en función tabular.

xЄ {xk, xE, K, CN}

variable continua: El conjunto de posibles valores no es numerable. Puede tomar todos los valores de un intervalo, son el resultado de medir. Es una función X que asigna a cada resultado posible de un experimento un numero real. Si X puede asumir cualquier valor en algún intervalo (el intervalo puede ser acotado o desacotado). la probabilidad asociada a cada valor es prácticamente nula (la función de distribución es continua). Una distribución continua describe las posibilidades de los posibles valores de una variable aleatoria continua. Una variable aleatoria continua es una variable con un conjunto de valores posibles (conocido como el rango) que es infinito  y no se puede contar. Las posibilidades de las variables aleatorias continuas (X) se define como el área por debajo de la curva de la PDF. Por lo tanto, solo los rasgos de valores pueden tener una probabilidad diferente de cero. La probabilidad de que una variable aleatoria continua equivalga a algún valor siempre es cero.

FORMAS DE REPRESENTAR GRÁFICAMENTE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS, DISCRETAS Y CONTINUAS

Identificación de una variable aleatoria discreta X: Es preciso conocer, el conjunto de los posibles resultados de X: 

{X1, X2,...X3}

Y el conjunto de probabilidades siguientes:

P1= P (X=X1)

P2= P (X=X2)

Pb= P (X=Xb)

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta (x):

 Pi= P (X=X1)                     PARA X= 1,2,3...

 Representación gráfica de la función de probabilidad: De una variable aleatoria discreta es análoga, el diagrama de barras de frecuencias relativas de una variable estadística discreta.

Función de distribución de una variable aleatoria discreta x: la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a X; nos permite calcular la probabilidad de que dicha variable se halle en un cierto intervalo (a,b) mediante la expresión.

 Fx (t)= p(x≦t)

Representación gráfica de la función de distribución: es análoga, gráfica de frecuencias relativas acumuladas de una variable estadística discreta.

Media: ዞ= E (X)= ΣXiPi

Varianza:  a２= Var (x)= Σ(xi-ዞ)２Pi (Σx２,Pi) - ዞ２

Desviacion tipica: σ=√Var (x) 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

Binomial: Es una distribución binomial de probabilidad discreta que describe el numero de éxitos al realizar "n" experimentos independientes entre si, acerca de una variable aleatoria. Existe una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta distribución de probabilidad, imaginemos el lanzamiento de una moneda en el que definimos el suceso "saca cara" como el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos se ajustaría a una distribución binomial. Por lo tanto, la distribución binomial se extiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito, fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria.

PROPIEDADES

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:

➤en cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (exito o fracaso).

➤La probabilidad del éxito ha de ser constante. esta se representa mediante la letra P de la probabilidad de que salga cara al alcanzar una moneda de 5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las posibilidades de sacar cara es constante.

➤La probabilidad de fracaso ha de ser también constante. Esta representa mediante la letra q= 1・p, es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo P o sabiendo q, podemos obtener lo que nos falte.

➤El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto lo que nos ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.

➤Los sucesos son conlectivamente exhaustivos, es decir al menos uno de los dos a de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer, y si se lanza una moneda, si no sale cara a de salir cruz.

➤La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X(n,p). n representa el numero de ensayos o experimentos y p la probabilidad del exito.

hipergeometrica: Es especialmente útil en todos aquellos casos en los que extraigan muestras o se realicen experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial. Es una distribución fundamental en el estudio de muestras pequeñas y en el calculo de probabilidades de juegos de azar. Tienen grandes aplicaciones en el control de calidad para procesos experimentales en los que no es posibles retornar a la situación de portada.

➤El proceso consta de "n" pruebas , separadas o separables de entre un conjunto de "N" pruebas posibles.

➤Cada una de las pruebas puede dar únicamente dos resultandos mutuamente excluyentes.

➤El numero de individuos que presentan la característica a (exito) es "k".

➤En la primera prueba las posibilidades son b(a)=p y p(a)=q; con p+q=1.

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DISTRIBUCIÓN NORMAL

Es una distribución con forma de campana donde las desviaciones estándar sucesivas con respecto a la media establecen valores de referencia para estimar el porcentaje de observaciones de los datos. Estos valores de referencia son la base de muchas pruebas de hipótesis como las pruebas Z y t. Puesto que la distribución de estos es normal, se puede determinar exactamente que porcentaje de los valores Z esta dentro de cualquier rango especifico. Se trata, sin duda del modelo continuo mas importante en estadística, tanto por su aplicación directa, veremos que muchas variables de interés general pueden describirse por dicho modelo, como por sus propiedades, que han permitido el desarrollo de numerosas técnicas de interferencia estadística. en realidad, el nombre de normal proviene del hecho de que durante un tiempo se creyó, por parte de médicos y biólogos, que todas las variables naturales de interés seguían este modelo.

f(x)= 1/ 2√πσ exp {(x-μ) 2/ 2σ2}

➥Su esperanza es μ

➥Su varianza es σ2 y, por tanto, su derivación típica es σ

➥Es simétrico respecto a su medida μ, como puede apreciarse en la representación.

➥Media, moda y mediana coinciden (μ)

➥Cualquier transformación lineal de una variable con distribución normal seguirá también el modelo normal.

➥Cualquier combinación lineal de variables normales independientes sigue también una distribución normal.

➥Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución Gaussiana.